Question

如圖，海上有A，B兩個小島相距10km，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為60°，現從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進行作業，且OC=BO．設AC=xkm．
（1）用x分別表示OA²+OB²和OA•OB，并求出x的取值范圍；
（2）晚上小艇在C處發出一道強烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據OC=BO，分別在△OAC與△OAB中利用余弦定理，可得x²=OA²+OB²+OA•OB且100=OA²+OB²-OA•OB．兩式聯解即可得出用x表示OA²+OB²、OA•OB的式子，再根據基本不等式與實際問題有意義建立關于x的不等式組，解之即可得到x的取值范圍；
（2）根據AO是△AOB的中線，利用三角形的面積公式算出S_△ABC=2S_△AOB=

1

2

•AC•BD，解出BD=

3 (x2-100)

2x

．設BD=f（x），利用導數研究f（x）的單調性可得f'（x）＞0，所以f（x）在區間（10，10

3

]上是增函數，可得當x=10

3

時f（x）有最大值，由此可得當AC=10

3

時BD的最大值為10．

解答：解：（1）在△OAC中，∠AOC=120°，AC=x，
根據余弦定理，可得OA²+OC²-2OA•OCcos120°=AC²=x²，
又∵OC=BO，∴x²=OA²+OB²-2OA•OBcos120°，即x²=OA²+OB²+OA•OB…①
在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，
∴由余弦定理，得OA²+OB²-2OA•OBcos60°=100，即100=OA²+OB²-OA•OB …②，
①+②，可得OA²+OB²=

1

2

（x²+100），
①-②，可得2OA•OB=x²-100，即OA•OB=

1

2

（x²-100），
又∵OA²+OB²≥2OA•OB，∴

1

2

（x²+100）≥2×

1

2

（x²-100），解得x²≤300，
∵OA•OB=

1

2

（x²-100）＞0，即x²＞100，
∴100＜x²≤300，解之得10＜x≤10

3

；
（2）∵O是BC的中點，可得S_△AOC=S_△AOB，
∴S_△ABC=2S_△AOB=2×

1

2

OA•OBsin60°=

3

2

×

1

2

（x²-100）=

3

4

（x²-100）．
又∵S_△ABC=

1

2

•AC•BD，∴

1

2

•x•BD=

3

4

（x²-100），得BD=

3 (x2-100)

2x

．
設BD=f（x），可得f（x）=

3 (x2-100)

2x

，其中x∈（10，10

3

]
∵f'（x）=

3

2

(1+

100

x2

)＞0，
∴f（x）在區間（10，10

3

]上是增函數，
可得當x=10

3

時，f（x）的最大值為

3 [(10 3 )2-100]

2×10 3

=10，即BD的最大值為10．

點評：本題給出實際應用問題，求B島至光線CA的距離BD的最大值．著重考查了余弦定理、三角形的面積公式、利用導數研究函數的單調性等知識，考查了解三角形知識在實際問題中的應用，屬于中檔題．