Question

已知圓系C：，圓C過y軸上的定點A，線段MN是圓C在x軸上截得的弦，設|AM|=m，|AN|=n．對于下列命題：
①不論t取何實數，圓心C始終落在曲線y²=x上；
②不論t取何實數，弦MN的長為定值1；
③不論t取何實數，圓系C的所有圓都與直線相切；
④式子的取值范圍是
其中真命題的序號是     （把所有真命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】分析：分析圓的方程特點，圓心C（t²，t²）在直線 y=x上；由弦長公式求弦MN的長；由圓心到直線的距離和半徑作比較，判斷直線和圓的位置關系；先求出m和n的值，有基本不等式可證 +≥2，由余弦定理求出 cosA，由三角形的面積可求 sinA，再運sinA+cosA≤，可得  +≤2．
解答：解：由圓C的方程知，圓心C（t²，t²）在直線 y=x上，故①不正確．
由弦長公式得：弦MN的長為 2=2=2=1，故②正確．
圓心C（t²，t²）到直線 的距離等于|t²-|，而半徑為，二者不一定相等，故③不正確．
在圓C方程令y=0，可得 x²-2t²x+t⁴-=0，∴x=t²+  或 x=t²-，
即 M（t²+，0），N（t²-，0），由圓C方程知A（0，），
∴|AM|=m=，|AN|=n=，
由基本不等式得 +≥2（當且僅當m=n時等號成立），
△AMN中，由余弦定理得 1=m²+n²-2mncosA，∴cosA=，
△AMN的面積為 •m•n•sinA=×1×，∴sinA=，
∵sinA+cosA=≤，∴+=≤2，
 即 2≥+≥2，故④正確．
故答案為   ②④．
點評：本題綜合考查圓系方程的性質，重點考查圓心的坐標特征，點到直線的距離公式、弦長公式、直線和圓的位置關系以及余弦定理的應用，并運用sinA+cosA≤ 這個結論．