Question

已知函數f（x）=x²+2mx+2，x∈[-5，5]
（1）當m=-2時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數m的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數；
（3）在（1）的條件下，設g（x）=f（x）+n-5，若函數g（x）在區間[0，4]上有且僅有一個零點，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行配方，得到函數的開口方向和對稱軸，開口向上在對稱軸處取最小值，離對稱軸越遠函數值越大，從而求出最大值；
（2）討論對稱軸與區間[-5，5]的位置關系，對稱軸小于等于-5，則f（x）在[-5，5]上單調遞增，對稱軸大于等于5，則f（x）在[-5，5]上單調遞減，從而可求出所求；
（3）根據（1）可求出g（x）解析式，然后配方可知對稱軸x=2∈[0，4]，要使g（x）在[0，4]上有且只有一個零點，則△=0，可求出所求．

解答：解：（1）當m=-2時，f（x）=（x-2）²-2，開口向上，對稱軸為x=2，
∴f（x）在[-5，2]上單調遞減，在[2，5]上單調遞增，
∴f（x）_max=f（-5）=47，f（x）_min=f（2）=-2；
（2）f（x）=（x+m）²+2-m²，對稱軸為x=-m，
當-m≤-5，即m≥5時，f（x）在[-5，5]上單調遞增，
當-m≥5，即m≤-5時，f（x）在[-5，5]上單調遞減，
∴y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數，則m的范圍為（-∞，-5]∪[5，+∞）；
（3）由（1）可知g（x）=x²-4x-3+n=（x-2）²-7+n，
∵g（x）在[0，4]上有且只有一個零點，對稱軸x=2∈[0，4]，
∴△=0即n-7=0，
∴n=7．
∴實數n的取值為7．

點評：本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，以及二次函數的單調性和零點問題，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．