Question

（本小題滿分16分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (其中e是自然界對(duì)數(shù)的底,)（1）求的解析式;（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

(Ⅰ)    （Ⅲ）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３

解析:

（1）設(shè)，則，所以

又因?yàn)?img width=36 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/134/208934.gif">是定義在上的奇函數(shù)，所以 

故函數(shù)的解析式為…4分

（2）證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè)

因?yàn)?img width=152 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/161/208961.gif">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以

  又因?yàn)?img width=115 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/169/208969.gif">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以

所以當(dāng)時(shí)，即       ……………………8分

（3）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則

（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．所以，解得（舍去）

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得

綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值３   …………16分