Question

某服裝批發商場經營的某種服裝，進貨成本40元/件，對外批發價定為60元/件．該商場為了鼓勵購買者大批量購買，推出優惠政策：一次購買不超過50件時，只享受批發價；一次購買超過50件時，每多購買1件，購買者所購買的所有服裝可在享受批發價的基礎上，再降低0.1元/件，但最低價不低于50元/件．
（1）問一次購買多少件時，售價恰好是50元/件？
（2）設購買者一次購買x件，商場的利潤為y元（利潤=銷售總額-成本），試寫出函數y=f（x）的表達式．并說明在售價高于50元/件時，購買者一次購買多少件，商場利潤最大．

Answer 1

解：（1）設購買者一次購買x件，售價恰好是50元/件．
由題知：
60-（x-50）×0.1=50
解之得：x=150，
即購買者一次購買150件，售價恰好是50元/件．
（2）當0＜x≤50時，購買者只享受批發價，y=60x-40x=20x；
當50＜x＜150時，購買者可享受批發價以外的更多優惠，
y=[60-（x-50）×0.1]x-40x=-x²+25x；
當x≥150時，購買者只能以50元/件采購，y=50x-40x=10x；
綜合得y=
售價高于50元/件即購買不足150件．
當0＜x≤50時，
y的最大值是20×50=1000（元），當x=50時取得；
當50＜x＜150時
，y=-x²+25x=-（x-125）²+1562.5，
當x=125時，y取最大值1562.5元．
分析：（1）設購買者一次購買x件，售價恰好是50元/件．然后代入已知進行驗證求解，求得x即可．
（2）根據0＜x≤50時，50＜x＜150時，x≥150時分別求解函數，建立分段函數并求最值問題．從而求出結果．
點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，抽象出數學模型，建立一個分段函數并求解，屬于基礎題．考查對知識的綜合運用能力．