Question

如圖（1），等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點.如圖（2），將△ABE沿AE折起，使二面角B-AE-C成直二面角，連結BC，BD，F是CD的中點，P是棱BC的中點.

     

（1）                               （2）

(1)求證：AE⊥BD；

(2)求證：平面PEF⊥平面AECD；

(3)判斷DE能否垂直于平面ABC?并說明理由.

Answer 1

解:(1)證明：連結BD，取AE中點M，連結BM,DM.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點,

∴△ABE與△ADE都是等邊三角形.∴BM⊥AE,DM⊥AE.

∵BM∩DM=M,BM,DM平面BDM,∴AE⊥平面BDM.

∵BD平面BDM,∴AE⊥BD.

(2)證明：連結CM交EF于點N，連結PN.

∵ME∥FC，且ME=FC,∴四邊形MECF是平行四邊形.

∴N是線段CM的中點.∵P是線段BC的中點,∴PN∥BM.

∵BM⊥平面AECD,∴PN⊥平面AECD.

又∵PN平面PEF,∴平面PEF⊥平面AECD.

(3)DE與平面ABC不垂直.

證明：假設DE⊥平面ABC，則DE⊥AB.

∴BM⊥平面AECD.∴BM⊥DE.

∵AB∩BM=B，AB,BM平面ABE,∴DE⊥平面ABE.

∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾.∴DE與平面ABC不垂直.