Question

在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC．
（1）若a=3，b=4，求|

CA

+

CB

|的值；
（2）若C=

π

3

，△ABC的面積是

3

，求

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）整理題設條件，由兩角和與差的正弦公式展開求得sin2B=sin2A，進而判斷出A=B或A+B=

π

2

，根據A≠B，判斷出C=

π

2

，根據

CA

⊥

CB

，進而求得|

CA

+

CB

|．
（2）若C=

π

3

，則C≠

π

2

，∴A=B，a=b，判斷出三角形為等邊三角形．進而根據三角形面積求得邊長，則

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

可求．

解答：解：由（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sinC，得
（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
∴2b²sinAcosB=2a²cosAsinB．根據正弦定理有：
2sinBcosB=2sinAcosA，即sin2B=sin2A，
∵A、B為三角形的內角，
∴A=B或A+B=

π

2

．
（1）若a=3，b=4，則A≠B，∴A+B=

π

2

，C=

π

2

，

CA

⊥

CB

，
∴|

CA

+

CB

|=

CA 2+ CB 2+2 CA • CB

=

a2+b2

=5．
（2）若C=

π

3

，則C≠

π

2

，∴A=B，a=b，三角形為等邊三角形．
由S_△ABC=

1

2

a²sinC=

3

，解得a=2，
∴

AB

•

BC

+

BC

•

CA

+

CA

•

AB

=3×2×2cos

2π

3

=-6．

點評：本題主要考查了兩角和與差的正弦，解三角形問題，正弦定理的應用．考查了學生的基本的運算能力和推理能力．