Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）討論函數f（x）在定義域內的最值（4分）；
（2）已知數列{a_n}滿足a1=1，an+1=(1+

1

n2

)an+

1

2n

(n∈N+)．
①證明對一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②證明對一切n∈N⁺，a_n＜e³（這里e是自然對數的底數）（6分）．

Answer 1

分析：（1）當a≤0時，f（x）在其定義域（-1，+∞）內是增函數，無最值．當a＞0時，f′(x)=

1-a-ax

1+x

=

-a(x- 1 a +1)

1+x

，由f′（x）=0，x=

1

a

-1∈(-1，+∞)，由此能夠得到函數f（x）在定義域內的最值．
（2）①易用數學歸納法證明．②當a=1時，ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，由an+1≤(1+

1

n2

)an+

an

2n

=(1+

1

n2

+

1

2n

)an，知lnan+1≤ln[(1+

1

n2

+

1

2n

)an]=lnan+ln(1+

1

n2

+

1

2n

)，所以lnan+1-lnan≤ln(1+

1

n2

+

1

2n

)＜

1

n2

+

1

2n

．由此能夠推導出對一切n∈N⁺，a_n＜e³．

解答：解：（1）當a≤0時，f（x）在其定義域（-1，+∞）內是增函數，無最值；]
當a＞0時，f′(x)=

1-a-ax

1+x

=

-a(x- 1 a +1)

1+x

，由f′（x）=0，x=

1

a

-1∈(-1，+∞)，
且x∈(-1，

1

a

-1)時，f'（x）＞0，f（x）在(-1，

1

a

-1)內遞增；x∈(

1

a

-1，+∞)時，f′（x）＜0，f（x）在x∈(

1

a

-1，+∞)內遞減，
故f(x)=f(

1

a

-1)=-lna-1+a為f（x）在定義域內的最大值；f（x）在其定義域（-1，+∞）內無最小值
（2）①易用數學歸納法證明．
②當a=1時，由第（1）小題知ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，
由①知 an+1≤(1+

1

n2

)an+

an

2n

=(1+

1

n2

+

1

2n

)an
所以  lnan+1≤ln[(1+

1

n2

+

1

2n

)an]=lnan+ln(1+

1

n2

+

1

2n

)
所以  lnan+1-lnan≤ln(1+

1

n2

+

1

2n

)＜

1

n2

+

1

2n

．
顯然a₁，a₂＜e³；因為  lna₁=ln1=0，所以n≥3時，lna_n=（lna_n-lna_n-1）+（lna_n-1-lna_n-2）+…+（lna₂-lna₁）＜(

1

(n-1)2

+

1

2n-1

)+…+(

1

12

+

1

2

)≤[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]+[

1

2

+

1

22

+…+

1

2n=1

]=3-

1

n-1

-

1

2n-1

＜3=lne3，
所以   a_n＜e³，綜合知對一切n∈N⁺，a_n＜e³．

點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，仔細分析，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等介轉化．