Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），設數列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首項為4，公差為2的等差數列．
（I）設a為常數，求證：{a_n}成等比數列；
（II）設b_n=a_nf（a_n），數列{b_n}前n項和是S_n，當a=

2

時，求S_n．

Answer 1

分析：（I）先利用條件求出f（a_n）的表達式，進而求出{a_n}的通項公式，再用定義來證{a_n}是等比數列即可；
（II）先求出數列{b_n}的通項公式，再對數列{b_n}利用錯位相減法求和即可．

解答：證明：（I）f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_aa_n=2n+2，可得a_n=a²ⁿ⁺²．
∴

an

an-1

=

a2n+2

a2(n-1)+2

=

a2n+2

a2n

=a2(n≥2，n∈N*)為定值．
∴{a_n}為等比數列．（5分）
（II）解：b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²．（7分）
當a=

2

時，bn=anf(an)=(2n+2)(

2

)2n+2=(n+1)2n+2．（8分）
S_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵++（n+1）•2ⁿ⁺² ①
2S_n=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶++n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³ ②
①-②得-S_n=2×2³+2⁴+2⁵++2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³（12分）
=16+

24(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺³=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n•2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．（14分）

點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．