Question

在直角坐標系xoy中，已知三點A（-1，0），B（1，0），C（-1，

3

2

）；以A、B為焦點的橢圓經過C點，
（1）求橢圓方程；
（2）設點D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l，與橢圓交于不同的兩點M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0？
若存在．求出直線l斜率的取值范圍；
（3）對于y軸上的點P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點M、N，使（

PM

+

PN

）•

MN

=0，試求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦點A（-1，0），B（1，0）及橢圓過C（-1，

3

2

)可得到橢圓方程．
（2）由(

DM

+

DN

)•

MN

=0，知|

DM

|=|

DN

|，設直線方程y=kx+m，（k≠0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x₀，y₀）．由題知

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

可得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=

3m

3+4k2

，由△＞0可得4k²+3＞m²，由|

DM

|=|

DN|

可得4k²＜-2矛盾．所以符合條件的直線不存在．
（3）由

y0-n

x0

=-

1

k

，可推出4k2＜

1

n2

-3，要使k存在解得n的取值范圍是(-

3

，0)∪(0，

3

)．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦點A（-1，0），B（1，0）及橢圓過C（-1，

3

2

)可得，

(-1)2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 a2-b2=1

，
解得

a2=4 b2=3

，即橢圓方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵(

DM

+

DN

)•

MN

=0，
∴|

DM

|=|

DN

|，
由題知直線的斜率存在．可設直線方程為
y=kx+m，（k≠0），
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x₀，y₀）．
由題知

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4k²-12=0，
得x0=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y0=

3m

3+4k2

，
由△＞0，得4k²+3＞m²，
由|

DM

|=|

DN|

，得

y0-1

x0

=-

1

k

，
即m=-3-4k²，又由4k²+3＞m²，可得4k²＜-2矛盾．
所以符合條件的直線不存在．
（3）由（2）知

y0-n

x0

=-

1

k

，
推出4k2＜

1

n2

-3，
要使k存在只需

1

n2

-3＞0，
解得n的取值范圍是(-

3

，0)∪(0，

3

)．

點評：本題考查橢圓方程的求法和判斷直線方程是否存在，求實數n的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．