Question

在△PAB中，已知、，動點P滿足|PA|=|PB|+4．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）設M（-2，0），N（2，0），過點N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點Q，，試在x軸上確定一點T，使得PN⊥QT；
（III）在（II）的條件下，設點Q關于x軸的對稱點為R，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得，動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支除去其與x軸的交點．下面結合待定系數法求出雙曲線方程即可；
（II）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設直線l的方程x=2．設MP的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用垂直條件即可求得所求T的坐標；
（III）由（II）知R（2，-4k），利用k表示出向量，最后結合向量的數量積求出結果即得．
解答：解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支除去其與x軸的交點．
設雙曲線方程為．
由已知，得解得（2分）
∴．（3分）
∴動點P的軌跡方程為．（4分）
注：未去處點（2，0），扣（1分）
（5）由題意，直線MP（6）的斜率存在且不為0，設直線l的方程x=2．
設MP的方程為y=k（x+2）．（5分）
∵點Q是l與直線MP的交點，∴Q（2，4k）．設P（x，y）
由整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
則此方程必有兩個不等實根x₁=-2，x₂=x＞2∴1-2k²≠0．，且．
∴．∴．（8分）
設T（t，0），要使得PN⊥QT，只需
由N（2，0），，
∴（10分）
∵k≠0，?∴t=4．此時
∴所求T的坐標為（4，0）．（11分）
（III）由（II）知R（2，-4k），∴=，．
∴．
∴．
說明其他正確解法按相應步驟給分．
點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．