Question

【題目】已知集合 為集合U的n個非空子集，這n個集合滿足：①從中任取m個集合都有 成立；②從中任取個集合都有 成立．

（Ⅰ）若， ， ，寫出滿足題意的一組集合；

（Ⅱ）若， ，寫出滿足題意的一組集合以及集合；

（Ⅲ) 若， ，求集合中的元素個數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

【解析】試題（Ⅰ）根據(jù)題意一一列舉即可；（Ⅱ）根據(jù)題意一一列舉即可；（Ⅲ）利用反證法進(jìn)行證明.

試題解析：（Ⅰ） ， ， ， ．

（Ⅱ）， ， ， ,．

（Ⅲ）集合中元素個數(shù)的最小值為120個．

下面先證明若，

則， ， ．

反證法：假設(shè)，不妨設(shè)．

由假設(shè)，設(shè)，設(shè)，

則是中都沒有的元素， ．

因為四個子集的并集為，

所以與矛盾，所以假設(shè)不正確．

若，且， ，

成立．則的個集合的并集共計有個．

把集合中120個元素與的3個元素的并集

建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以集合中元素的個數(shù)大于等于120.

下面我們構(gòu)造一個有120個元素的集合：

把與 ()對應(yīng)的元素放在異于的集合中，因此對于任意一個個集合的并集，它們都不含與對應(yīng)的元素，所以．同時對于任意的個集合不妨為的并集，

則由上面的原則與對應(yīng)的元素在集合中，

即對于任意的個集合的并集為全集．