Question

已知ABC，向量

m

=(2cos2(

π

4

+

B

2

)，sin2B-1)，

n

=(2cosB，1)且滿足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．
（1）求角B的大小；
（2）求1+sin²A-cos²C的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）表示出

m

+

n

，

m

-

n

并化簡，根據|

m

+

n

|=|

m

-

n

|可求得cosB，根據B的范圍可求得B；
（2）1+sin²A-cos²C=sin²A+sin²C=sin2A+sin2(

2π

3

-A)，展開后化為Asin（ωx+φ）+B的形式，然后根據角A的范圍及正弦函數的有界性可求得結果；

解答：解：（1）

m

=(1-sinB，sin2B-1)，

n

=(2cosB，1)，
則

m

+

n

=(2cosB-sinB+1，sin2B)，

m

-

n

=(1-sinB-2cosB，sin2B-2)，
由|

m

+

n

|=|

m

-

n

|得，

(2cosB-sinB+1)2+sin22B

=

(1-sinB-2cosB)2+(sin2B-2)2

，
化簡后可得cosB=

1

2

，
所以B=

π

3

；
（2）1+sin²A-cos²C=sin²A+sin²C=sin2A+sin2(

2π

3

-A)
=sin2A+(

3

2

cosA+

1

2

sinA)2
=

3

4

+

1

2

sin2A+

3

2

sinAcosA
=

3

4

+

1

2

•

1-cos2A

2

+

3

2

•

sin2A

2

=1+

3

4

sin2A-

1

4

cos2A
=1+

1

2

sin（2A-

π

6

），
因為B=

π

3

，所以A∈(0，

2

3

π)，即2A-

π

6

∈(-

π

6

，

7

6

π)，即sin（2A-

π

6

）∈(-

1

2

，1]，
所以1+

1

2

sin（2A-

π

6

）∈（

3

4

，

3

2

]，即sin²A+sin²C的取值范圍是（

3

4

，

3

2

]；

點評：本題考查三角函數的恒等變換、平面向量數量積的運算，屬中檔題．