Question

已知圓E經過點A（2，-3）、B（-2，-5），且圓心在直線x-2y-3=0上．
（1）求圓E的方程；
（2）若直線x+y+m=0與圓E交于P、Q兩點，且 EP⊥EQ，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓心E在直線x-2y-3=0，可設圓心E（ 2b+3，b ），由|EA|=|EB|列出方程解出 b=-2，求得圓心E的坐標即半徑，從而得到圓的標準方程．
（2）設圓心到直線的距離為d，由題意可得 d=

r

2

，即

|-1-2+m|

2

=

10

2

，解此方程求出m的值．

解答：解：（1）∵圓心E在直線x-2y-3=0，可設圓心E（2b+3，b ）．
由|EA|=|EB|可得

(2b+3-2)2+(b+3)2

=

(2b+3+2)2+(b+5)2

，
平方化簡可得 5b²+10b+10=5b²+30b+30，
解得 b=-2，故點E（-1，-2）．
由兩點間距離公式得r² =|EA|²=10，
所以，圓的方程為（x+1）²+（y+2）²=10．
（2）由題意可得△EPQ為等腰直角三角形，EP=EQ=r=

10

，
設圓心到直線PQ的距離為d，可得 d=

r

2

，
再由點E（-1，-2），PQ的方程為x+y+m=0，故有

|-1-2+m|

2

=

10

2

，
解得m=3±

10

．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，求出圓心坐標和半徑的值，是解題的關鍵．直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．