Question

如圖，ABCD是正方形空地，邊長為30m，電源在點P處，點P到邊AD，AB距離分別為9m，3m．某廣告公司計劃在此空地上豎一塊長方形液晶廣告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．線段MN必須過點P，端點M，N分別在邊AD，AB上，設AN=x（m），液晶廣告屏幕MNEF的面積為S（m²）．
（1）用x的代數(shù)式表示AM；
（2）求S關于x的函數(shù)關系式及該函數(shù)的定義域；
（3）當x取何值時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小？

Answer 1

分析：（1）在△AMN中利用比例關系即可表示AM；
（2）由（1），根據(jù)勾股定理用x表示MN，再由MN：NE=16：9，可以用x表示NE，即能表示面積S，結合x為邊長求定義域即可；
（3）根據(jù)（2），求出函數(shù)的導函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值即可．

解答：解：（1）依題意，AM=

3x

x-9

（10≤x≤30）；（2分）
（2）MN2=AN2+AM2=x2+

9x2

(x-9)2

．（4分）
∵MN：NE=16：9，∴NE=

9

16

MN．
∴S=MN•NE=

9

16

MN2=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]．（6分）
定義域為[10，30]．（8分）
（3）S′=

9

16

[2x+

18x(x-9)2-9x2(2x-18)

(x-9)4

]=

9

8

×

x[(x-9)3-81]

(x-9)3

，（11分）
令S′=0，得x=0（舍），x=9+3

3	3

．（13分）
當10≤x＜9+3

3	3

時，S′＜0，S關于x為減函數(shù)；
當9+3

3	3

＜x≤30時，S′＞0，S關于x為增函數(shù)；
∴當x=9+3

3	3

時，S取得最小值．（15分）
答：當AN長為9+3

3	3

m時，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最小．（16分）

點評：本題考查用數(shù)學知識解決實際應用題的能力，主要考查構建函數(shù)模型，函數(shù)的定義域，以及用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)最值，是中檔題．