Question

已知兩點，，曲線上的動點滿足，直線與曲線交于另一點．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設，若，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）．    （Ⅱ）

本試題主要是考查了圓錐曲線方程的求解，以及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用。
（1）根據已知中動點與定點的關系式可知該動點的軌跡符合橢圓的定義，則可以利用定義法求解軌跡方程。
(2)設出直線MN方程，與橢圓方程聯立，得到韋達定理，結合題目中的三角形的面積比，可知線段的比，然后得到向量的關系式，從而結合坐標得到結論
解：（Ⅰ）因為,，所以曲線是以，為焦點，長軸長為的橢圓．曲線的方程為．     ……4分
（Ⅱ）顯然直線不垂直于軸，也不與軸重合或平行.  ……5分
設，直線方程為，其中.
由得.解得或.
依題意，.    ……7分
因為，所以，則. 
于是所以     ……9分
因為點在橢圓上，所以.
整理得，解得或（舍去），從而.
所以直線的方程為.