Question

在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.現(xiàn)將△ABC沿著平面ABC的法向量平移到△A₁B₁C₁位置,已知AA₁=2,分別取A₁B₁、A₁A的中點(diǎn)P、Q.

(1)求的長(zhǎng);

(2)求cos〈〉,cos〈〉,并比較〈〉與〈〉的大小;

(3)求證:AB₁⊥C₁P.

Answer 1

解：(1)以C為原點(diǎn)O,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz,則由已知,得

C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C₁(0,0,2),P(,,2),Q(1,0,1),

B₁(0,1,2),A₁(1,0,2).

∴=(1,-1,1),=(0,1,2),

=(1,-1,2),=(-1,1,2),

=(,,0).

(2)

∴cos〈〉

又=0-1+4=3,

∴cos〈〉

又

∴〈〉,〈〉∈(0,).

又y=cosx在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減,?

∴〈〉＞〈〉.

(3)證明:又=(-1,1,2)·(,,0)=0,

∴⊥,即AB₁⊥C₁P.

綠色通道：

兩向量所成的角θ∈［0,π］,第(3)問(wèn)中,將欲證的⊥轉(zhuǎn)化為⊥,再利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算就輕易解決了.這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的重要思想.