Question

（本小題滿分14分）

Monte-Carlo方法在解決數學問題中有廣泛的應用。下面是利用Monte-Carlo方法來計算定積分。考慮定積分，這時等于由曲線，軸，所圍成的區域M的面積，為求它的值，我們在M外作一個邊長為1正方形OABC。設想在正方形OABC內隨機投擲個點，若個點中有個點落入中，則的面積的估計值為，此即為定積分的估計值I。向正方形中隨機投擲10000個點，有個點落入區域M

(1)若=2099，計算I的值，并以實際值比較誤差是否在5%以內

(2)求的數學期望

(3)用以上方法求定積分，求I與實際值之差在區間（—0.01,0.01）的概率

附表：

n	1899	1900	1901	2099	2100	2101
P(n)	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

解: （1）若=2099,則

而=                        …………………………2分

 ∴估計值與實際值的誤差為:

即估計值與實際值的誤差在5%以內              ………………………4分

（2）由題意,每一次試驗能夠落入區域M中的概率為0.2, 投擲10000個點有個點落入區域M內，則                    …………………………7分

    ∴                   …………………………9分

（3）I與實際值之差在區間（—0.01,0.01）的概率為

=0.9871                  …………………………14分