Question

函數y=a^x+2-2（a＞0且a≠1）的圖象恒過點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

2

n

的最小值為（　　）

• A．4+

  2

• B．4

  2

• C．8
• D．6-4

  2

Answer 1

分析：由函數y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，可得A（-2，-1），點A在直線mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，利用1的變換構造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（-2，-1），由點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=（

1

m

+

2

n

）（2m+n）=4+

n

m

+

4m

n

≥4+2

n m • 4m n

=8
當且僅當

2m+n=1 n m = 4m n

即m=

1

4

，n=

1

2

時取等號．
故答案為：8

點評：均值不等式在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等條件的把握．當均值不等式中等號不成立時，常利用函數單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．