Question

已知函數f（x）=x³-3x+2．
（1）求出函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若x∈（-2，1]，求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根據實數k的不同值，討論方程f（x）-k=0實根的個數．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3x+2，知f'（x）=3x²-3，由此能求出f（x）=x³-3x+2的單調遞減區間．　
（2）由f'（x）=3x²-3=0，得x₁=1，x₂=-1，列表討論能求出f（x）的最大值和最小值．　　　　　　
（3）畫出y₁=x³-3x+2與y₂=k的圖象，根據實數k的不同值，能夠得到方程f（x）-k=0實根的個數．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3x+2，
∴f'（x）=3x²-3，
由f'（x）≤0得，-1≤x≤1，
∴f（x）=x³-3x+2的單調遞減區間為[-1，1]；　
（2）由f'（x）=3x²-3=0，得x₁=1，x₂=-1，
列表如下：

x	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1
f'（x）	+		-
f（x）	單增	4	單減	0

又f（-2）=f（1）=0，
則x=-1時最大值為4，x=1時最小值為0；　　　　　　
（3）畫出y₁=x³-3x+2與y₂=k的圖象，
①k∈（-∞，0）∪（4，+∞）時，f（x）-k=0有1個實根；
②k∈{0，4}時，f（x）-k=0有2個實根；
③k∈（0，4）時，f（x）-k=0有3個實根．

點評：本題考查函數的單調性、最值、實根的個數的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質、分類討論思想的合理運用．