Question

【題目】數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，如下圖就是在平面直角坐標系的“心形曲線”，又名RC心形線.如果以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，其RC心形線的極坐標方程為.

（1）求RC心形線的直角坐標方程；

（2）已知與直線（為參數），若直線與RC心形線交于兩點，，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用兩邊平方的方法，結合極坐標和直角坐標相互轉化的公式，求得心形線的直角坐標方程.

（2）將直線的參數方程轉化為標準參數方程，然后代入心形線的直角坐標方程，利用直線參數的幾何意義，求得的值.

（1）因為，

所以，

即，

故；

（2）因為在直線（為參數）上，

設直線的參數方程為（為參數）

若直線與RC心形線交于兩點，，

則只能交于軸右側部分，

將直線的參數方程，代入方程，化簡得，

所以.