Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1，則橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形為ABCD，如圖所示．設(shè)A（m，n），則矩形ABCD的面積S=4mn，利用基本不等式可得1=

m2

2

+n²≥

2

mn，由此即可算出當(dāng)m=1且n=

2

2

時(shí)，矩形ABCD的面積的最大值為2

2

．

解答：解：設(shè)內(nèi)接矩形為ABCD，A為橢圓第一象限部分的一點(diǎn)，如圖所示．
設(shè)A（m，n），可得矩形ABCD的面積為S=4mn，
∵

m2

2

+n2=1≥2

m2 2 •n2

=

2

mn，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1、n=

2

2

時(shí)，等號成立
∴

2

mn有最大值為1，相應(yīng)地mn有最大值為

2

2

．
因此當(dāng)m=1、n=

2

2

時(shí)，矩形ABCD的面積為S=4mn的最大值為2

2

．
故答案為：2

2

點(diǎn)評：本題給出橢圓的內(nèi)接矩形，求其面積的最大值．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．