Question

已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個焦點，并與雙曲線的實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的交點為(

3

2

，

6

)．
（1）求拋物線的方程；
（2）求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過交點(

3

2

，

6

)，求出c、p的值，
（2）進而結合雙曲線的性質a²+b²=c²，求解即可得雙曲線的方程．

解答：解：（1）由題設知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準線過雙曲線的左焦點，
∴p=2c．設拋物線方程為y²=4c•x，
∵拋物線過點(

3

2

，

6

)，∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，
故拋物線方程為y²=4x．
（2）由（1）得p=2，…（5分）
所以，所求雙曲線的一個焦點為（1，0），c=1…（9分）
設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

1-a2

=1，
代入點(

3

2

，

6

)，得a2=

1

4

…（12分）
故雙曲線的方程為：4x²-

4y2

3

=1．

點評：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數法，熟練掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．