Question

【題目】電視臺播放甲、乙兩套連續劇，每次播放連續劇時，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續劇時，連續劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：

	連續劇播放時長（分鐘）	廣告播放時長（分鐘）	收視人次（萬）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知電視臺每周安排的甲、乙連續劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續劇播放的次數不多于乙連續劇播放次數的2倍．分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續劇的次數．（13分）
（I）用x，y列出滿足題目條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域；
（II）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續劇各多少次，才能使總收視人次最多？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由已知，x，y滿足的數學關系式為 ，即 ．
該二元一次不等式組所表示的平面區域如圖：

（Ⅱ）解：設總收視人次為z萬，則目標函數為z=60x+25y．
考慮z=60x+25y，將它變形為 ，這是斜率為 ，隨z變化的一族平行直線．
為直線在y軸上的截距，當 取得最大值時，z的值最大．
又∵x，y滿足約束條件，
∴由圖可知，當直線z=60x+25y經過可行域上的點M時，截距 最大，即z最大．
解方程組 ，得點M的坐標為（6，3）．
∴電視臺每周播出甲連續劇6次、乙連續劇3次時才能使總收視人次最多．
【解析】（Ⅰ）直接由題意結合圖表列關于x，y所滿足得不等式組，化簡后即可畫出二元一次不等式所表示的平面區域；
（Ⅱ）寫出總收視人次z=60x+25y．化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數得答案．
【考點精析】本題主要考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區域的相關知識點，需要掌握不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部才能正確解答此題．