Question

已知曲線C₁：y=

x2

e

+e（e為自然對數的底數），曲線C₂：y=2elnx和直線m：y=2x．
（I）求證：直線m與曲線C₁、C₂都相切，且切于同一點；
（II）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁、C₂及直線m分別交于M、N、P，記f（t）=|MP|-|PN|，求f（t）在[e^-3，e³]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）可設直線m：y=2x與曲線曲線C₁：y=

x2

e

+e的切點為（a，b）再根據導數的幾何意義可得f^′（a）=2求出a再代入曲線方程求出b，同理求出與曲線C₂的另一切點然后比較兩切點是否是同一點即可得出結論．
（Ⅱ）求出M，N，P點的坐標然后利用兩點間的距離公式求出|MP|，|NP|即可求出f（t），最后要求最大值只須利用導數判斷函數f（t）在區間[e^-3，e³]上的單調性即可求出最大值．

解答：解：（I）對于曲線C₁：y=

x2

e

+e，設切點P（a，b），有

2a

e

=2∴a=e，故切點為P（e，2e），
切線：y-2e=2（x-e），即y=2x．所以直線m與曲線C₁相切于點P（e，2e）
同理可證直線m與曲線C₂也相切于點P（e，2e）．
（II）由題意易得M（t，

t2

e

+e），N（t，2eln^t），P（t，2t）
∴由兩點間的距離公式可得|MP|=

t2

e

+e-2t，|PN|=2t-2eln^t，
∴f（t）=

t2

e

+2elnt-4t+e(e-3≤t≤e3)
f′(t)=

2t

e

+

2e

t

-4=

2(t-e)2

t

≥0
∴f（t）在[e^-3，e³]上單調增，故y_max=f（e³）=e⁵-4e³+7e．

點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義求切點坐標和利用導數判斷函數的單調性然后求函數的最值．解題的關鍵是要理解導數的幾何意義在解題中的連接作用和如何利用導數判斷函數的單調性！