Question

【題目】已知{an}是各項均為正數的等比數列，{bn}是等差數列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3 ， a5﹣3b2=7．
（1）求{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn=anbn ， n∈N* ， 求數列{cn}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列{an}的公比為q，數列{bn}的公差為d，由題意，q＞0，

由已知有 ，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．

∵q＞0，解得q=2，∴d=2，

∴數列{an}的通項公式為 ，n∈N*；

數列{bn}的通項公式為bn=2n﹣1，n∈N*．

（2）解：由（1）有 ，

設{cn}的前n項和為Sn，則

，

，

兩式作差得： =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．

∴

【解析】（1）設出數列{an}的公比和數列{bn}的公差，由題意列出關于q，d的方程組，求解方程組得到q，d的值，則等差數列和等比數列的通項公式可求；（2）由題意得到 ，然后利用錯位相減法求得數列{cn}的前n項和．