Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=

1

an•an+1

，求證b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²，
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1=a_n，
∴a_n=2n-1．
（2）證明：b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．