Question

已知函數（，為常數），且為的一個極值點．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 求函數的單調區間；
(Ⅲ) 若函數有3個不同的零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

解： (Ⅰ) 函數f (x)的定義域為（0，+∞）……1分
∵ f ′ (x) =              ……….2分
∴，則a = 1．……….4分 
(Ⅱ)由(Ⅰ) 知
∴ f ′ (x) =   ………6分 
由f ′ (x) > 0可得x>2或x<1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．
∴ 函數f ( x ) 的單調遞增區間為 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，
單調遞減區間為 (1 , 2 )．                    …9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函數f (x)在(0，1)單調遞增，在(1，2)單調遞減，在(2，+∞)單調遞增．
且當x =1或x =2時，f ′ (x) = 0．                         
∴ f (x) 的極大值為       …10分       
f (x)的極小值為    
由題意可知 
則                             ………11分

本試題主要考查了導數在研究函數中的運用，利用導數來判定函數的單調性，以及函數的零點的綜合運用。
（1）函數f (x)的定義域為（0，+∞） ∵ f ′ (x) = 
∴，則a = 1
（2）由(Ⅰ) 知
∴ f ′ (x) =解二次不等式得到單調區間。
（3）由(Ⅱ)可知函數f (x)在(0，1)單調遞增，在(1，2)單調遞減，在(2，+∞)單調遞增．
且當x =1或x =2時，f ′ (x) = 0。