Question

（12分）已知二次函數f （x）=,設方程f （x）
=x的兩個實根為x₁和x₂．
（1）如果x₁<2＜x₂<4，且函數f （x）的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞—1；
（2）如果∣x₁∣<2，，∣x₂—x₁∣=2，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設g（x）=" f" （x）—x
=，且g（4）>0，即

∴
（2）由g（x）=．
①若0<x₁<2，則x₂一x₁=2，即x₂=x₁+2>2，∴g（2）=4a+2b—1<0，
又，代入上式得
②若一2<x₁<0，則x₂=一2+x₁<一2，∴g（一2）<0，即4a－2b+3<0，同理可求得．
故當0<x₁<2時，；當一2<x₁<0時，．

本題涉及的變量較多,因此弄清問題的意義，確定變量并尋找變量間的關系就顯
得特別重要。
（1）變量情況。
主要變量：限制在10秒和60秒之間的兩次廣告時間；
制約變量：總的費用≤36 000元，需影響年輕人數≥1500千人，需影響中年人數≥2 000
千人，需影響老年人數≥2000千人。
（2）變量間的關系：
總的費用=（購買的時間×每秒價格）之和；
影響的人數=（購買的時間×相應年齡組每秒影響的人數）之和；
銷售額=（占影響人數的份額×對應組影響的人數）之和。
（3）建模與求解：記x、y分別表示早、晚購買的時間（秒）；S=第一個月的銷售額（用千人表示），C=總的費用（元）；Y、M、O分別表示年輕、中年、老年組受到廣告影響的人數（千人）。于是有：
C=400x＋600y ≤3 600,
Y=30x＋50y≥1500,
M=100x＋80y≥2 000, （*）
O=50x＋40y≥2 000,
10≤x≤60, 10≤y≤60
要求S=0．1Y＋0．05M＋0．02O=9x＋9．8y的最大值。

符合約束條件（*）的點（x,y）在如上圖所示的六邊形區域內，求S=9x+9．8y的最大值轉化為求直線y=9x/9．8＋S/9．8的截距S/9．8的最大值。由圖知，當此直線過圖中直線400x+600y=3600和x =60的交點A（60,20）時，截距最大,此時Smax=9×60+9．8×20=736（千人）。
（4） 結論：如上討論可知，滿意的結果是第一個月的銷售額是736 000（份）只要購買晚八叫點前60秒和九點后20秒的廣告即可。此時，花掉了所有的預算并超過所有年齡組所要求影響的人數。