Question

已知點M（4，0）、N（1，0），若動點P滿足

MN

 • 

MP

=6|

NP

|．
（1）求動點P的軌跡C；
（2）在曲線C上求一點Q，使點Q到直線l：x+2y-12=0的距離最小．

Answer 1

分析：（1）設出動點坐標，利用向量數量積公式及模長公式，即可求動點P的軌跡C；
（2）橢圓C上的點Q到直線l的距離的最值等于平行于直線l：x+2y-12=0且與橢圓C相切的直線l₁與直線l的距離．

解答：解：（1）設動點P（x，y），又點M（4，0）、N（1，0），
∴

MP

=( x-4 ， y )，

MN

=( -3 ， 0 )，

NP

=( x-1 ， y )． …（3分）
由

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，得-3( x-4 )=6

( 1-x )2+( -y )2

，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1，
∴軌跡C是焦點為（±1，0）、長軸長2a=4的橢圓；            …（7分）
評分說明：只求出軌跡方程，沒有說明曲線類型或交代不規范的扣（1分）．
（2）橢圓C上的點Q到直線l的距離的最值等于平行于直線l：x+2y-12=0且與橢圓C相切的直線l₁與直線l的距離．
設直線l₁的方程為x+2y+m=0（m≠-12）．            …（8分）
由

3x2+4y2=12 x+2y+m=0

，消去y得4x²+2mx+m²-12=0（*）．
依題意得△=0，即4m²-16（m²-12）=0，故m²=16，解得m=±4．
當m=4時，直線l₁：x+2y+4=0，直線l與l₁的距離d=

|4+12|

1+4

=

16 5

5

．
當m=-4時，直線l₁：x+2y-4=0，直線l與l₁的距離d=

|-4+12 |

1+4

=

8 5

5

．
由于

8 5

5

＜

16 5

5

，故曲線C上的點Q到直線l的距離的最小值為

8 5

5

．…（12分）
當m=-4時，方程（*）化為4x²-8x+4=0，即（x-1）²=0，解得x=1．
由1+2y-4=0，得y=

3

2

，故Q( 1 ， 

3

2

 )．                     …（13分）
∴曲線C上的點Q( 1 ， 

3

2

 )到直線l的距離最小．   …（14分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．