Question

若關于x的方程

sinxcosx+1

sinx+cosx

-a=0在x∈(

3π

4

，

7π

4

)內恰有兩實數解，則實數a的取值范圍為

（-

2

，-1]

．

Answer 1

分析：令sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=t，則得 t∈[-

2

，0），a=

t2+1

2t

=

t

2

+

1

2t

，再利用基本不等式求出實數a的取值范圍．

解答：解：令sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）=t，則有 sinxcosx=

t2-1

2

．
∵x∈(

3π

4

，

7π

4

)，∴π≤x+

π

4

≤2π，-1≤sin（x+

π

4

）≤0．
結合題意可得 t∈[-

2

，0），故 

sinxcosx+1

sinx+cosx

-a=0 即

t2-1 2 +1

t

=a，即 a=

t2+1

2t

=

t

2

+

1

2t

．
∴-a=

-t

2

+

1

-2t

≥2

1 4

=1，當且僅當

-t

2

=

1

-2t

，即 t=-1時，等號成立，故a≤-1，．
當t∈（-

2

，0）時，每一個t值，對應了滿足 π≤x+

π

4

≤2π 的2個x值（x+

π

4

可能在第三象限，也可能在第四象限），
故答案為 （-

2

，-1]．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換以及基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于中檔題．