Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（1）若a=0時(shí)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的圖象總在h（x）的圖象的下方，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-h（x）在[1，4]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）因f（x）圖象總在h（x）的圖象的下方從而mlnx＜x，對(duì)?x∈（1，+∞）恒成立，而lnx＞0、∴m＜

x

lnx

在x∈（1，+∞）上恒成立，令H(x)=

x

lnx

，H′(x)=

lnx-1

(lnx)2

=0，求出x的值，得到單調(diào)區(qū)間，求出m的范圍，問(wèn)題得以解決；
（2）m=2時(shí)，g（x）=f（x）-h（x）=2lnx-x+a令g（x）=0，則a=x-2lnx在x∈[1，4]上恰有一解，m（x）=x-2lnx，x∈[1，4]，令m′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

=0，
得x=2，再由m（x）的單調(diào)性并結(jié)合圖象從而求出a的范圍．

解答： 解（1）因f（x）圖象總在h（x）的圖象的下方
∴mlnx＜x，對(duì)?x∈（1，+∞）恒成立，
而lnx＞0、∴m＜

x

lnx

在x∈（1，+∞）上恒成立，
令H(x)=

x

lnx

，H′(x)=

lnx-1

(lnx)2

=0，
得x=e，
∴當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，H（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，H（x）單調(diào)遞增
∴H（x）_min=H（e）=e，
∴m＜e，
（2）當(dāng)m=2時(shí)，g（x）=f（x）-h（x）=2lnx-x+a
令g（x）=0，則a=x-2lnx在x∈[1，4]上恰有一解，
m（x）=x-2lnx，x∈[1，4]，
令m′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

=0，得x=2，
m（x）在x∈[1，2]單調(diào)遞減，m（x）在x∈[2，4]單調(diào)遞增，
m（1）=1，m（2）=2-2ln2，m（4）=4-4ln2，0＜m（2）＜1
又m（4）＞1
∴m（x）在x∈[1，4]上的圖象如圖
依圖可知a=2-2ln2或1＜a≤4-4ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．