Question

若函數f(x)=

a•2x-2

1+2x

(a∈R)是R上的奇函數
（1）求a的值，并利用定義證明函數f（x）在R上單調遞增；
（2）解不等式：f(-2)+f(log

1

2

(2x))≥0．

Answer 1

（1）∵f（x）=

a•2x-2

1+2x

是R上的奇函數，
∴f（0）=0，解得a=2…2分
∴f（x）=

2(2x-1)

1+2x

．
證明：設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-1)

1+2x1

-

2(2x2-1)

1+2x2

…3分
=

4(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

…5分
∵y=2^x是R上的增函數，
∴2x1-2x2＜0，而（1+2x1）（1+2x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在R上單調遞增…7分
（2）由f（-2）+f（log

1

2

(2x)）≥0，且f（x）是R上的奇函數可得：f（log

1

2

(2x)）≥f（2）…8分
又f（x）在R上單調遞增，
∴log

1

2

(2x)≥2…9分
解得0＜x≤8…11分
∴不等式的解集是{x|0＜x≤8}…12分