Question

已知函數f（x）=x²-alnx，g（x）=x-a

x

．
（1）若a∈R，求函數f（x）的極值；
（2）若函數f（x）在（1，2）上是增函數，g（x）在（0，1）上為減函數，求f（x），g（x）的表達式；
（3）對于（2）中的f（x），g（x），求證：當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

Answer 1

分析：（1）先求定義域，然后求函數的導數f'（x），利用極值的定義確定函數f（x）的極值．
（2）利用函數f（x）在（1，2）上是增函數，g（x）在（0，1）上為減函數，確定參數a的數值，從而確定函數f（x），g（x）的表達式．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，構造函數h（x）=f（x）-g（x）-2，利用導數研究函數h（x）的極值和最值．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），函數的導數為f′(x)=2x-

a

x

，
①若a≤0，f'（x）＞0橫成立，此時函數f（x）單調遞增，無極值．
②若a＞0，則由f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

＞0，解得x＞

2a

2

，此時函數f（x）單調遞增．
由f′(x)=

2x2-a

x

＜0，解得0＜x＜

2a

2

，此時函數f（x）單調遞減．
所以當x=

2a

2

時，函數f（x）取得極小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-ln?a+ln?2)．
綜上，若a≤0，函數f（x）無極值．
若a＞0，函數f（x）取得極小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-ln?a+ln?2)．
（2）若函數f（x）在（1，2）上是增函數，則f′(x)=

2x2-a

x

≥0恒成立，
即a≤2x²在（1，2）上恒成立，所以a≤2．
又g′(x)=1-

a

2 x

，要使g（x）在（0，1）上為減函數，
則g′(x)=1-

a

2 x

≤0在（0，1）上恒成立，
即a≥2

x

在（0，1）上恒成立，所以a≥2．
綜上a=2．
（3）由f（x）=g（x）+2得f（x）-g（x）-2=0，設h（x）=f（x）-g（x）-2=x2-2lnx-x+2

x

-2，
則h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

，由h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

＞0且x＞0，得(

x

-1)(2x

x

+2x+

x

+2)＞0，
解得x＞1，此時函數h（x）單調遞增．
由h'（x）＜0，解的0＜x＜1．此時函數h（x）單調遞減．
所以函數h（x）在x=1處取得極小值同時也是最小值h（0）=0，
當x＞0時，且x≠1時，h（x）＞0，所以h（x）=0在（0，+∞）上只有一個解，即當x＞0時，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性、極值和最值，綜合性較強，運算量較大．