Question

數列{a_n}的各項為正數，其前n項和S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．若T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*），則T_n的取值所在的區間最恰當的是（　　）

• A、(0，

  8

  3

  )
• B、[2，4）
• C、[2，

  8

  3

  )
• D、（0，4）

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：由S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．利用公式法求得數列的通項公式a_n=2^2-n．a_na_n+1=2^2-n•2^1-n=2^3-2n，利用等比數列求和公式求得T_n即可得出結論．

解答： 解：∵S_n=4-(

1

2

)n-2（n∈N^*）．
∴n=1時，a₁=s₁=4-(

1

2

)1-2=4-2=2，
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=-(

1

2

)n-2+(

1

2

)n-3=(

1

2

)n-2=2^2-n，
上式對n=1也成立．
∴a_n=2^2-n．
∴a_na_n+1=2^2-n•2^1-n=2^3-2n，
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=2+2^-1+2^-3+…+2^3-2n=

2[1-( 1 4 )3-2n]

1- 1 4

8

3

[1-(

1

4

)3-2n]＜

8

3

，
又T_n≥T₁=a₁a₂=2^3-2×1=2，
∴T_n∈[2，

8

3

）．
故選C．

點評：本題主要考查公式法求數列的通項公式及等比數列求和知識，考查學生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于中檔題．