Question

已知函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個交點，交點的橫坐標的最大值為α，求證：

cosα

sinα+sin3α

=

1+α2

4α

．

Answer 1

分析：作出函數f（x）=|sinx|的圖象，利用函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個交點，確定切點坐標，然后利用三角函數的關系式證明等式．

解答：解：作出函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）的圖象，如圖所示，要使兩個函數有且僅有三個交點，
則由圖象可知，直線在（π，

3π

2

）內與f（x）相切．設切點為A（α，-sinα），
當x∈（π，

3π

2

）時，f（x）=|sinx|=-sinx，
此時f'（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
所以-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
所以

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

2sin2αcosα

=

cosα

4sinαcosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．
所以等式成立．

點評：本題主要考查了兩函數的交點的應用，以及三角函數的導數應用，綜合性較強，難度較大．