Question

已知函數f(x)=

a

bx-1

，其圖象過點（2，2）和（5，

1

2

）；
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）利用函數單調性的定義判斷函數f（x）在區間[2，6]上的單調性；
（3）求f（x）函數在區間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的圖象過點（2，2）和（5，

1

2

），代入坐標可求a、b的值；
（2）用單調性的定義證明函數f（x）在區間[2，6]上是減函數，步驟是①取值，②作差，③判符號，④下結論；
（3）由函數y=

2

x-1

是閉區間上的減函數，在區間的端點上取得最值，求出即可．

解答：解：（1）函數f(x)=

a

bx-1

，圖象過點（2，2）和（5，

1

2

），∴

a 2b-1 =2 a 5b-1 = 1 2

，
解得：a=2，b=1；∴函數f（x）的解析式為：f（x）=

2

x-1

（其中x≠1）；
（2）設x₁、x₂是區間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

；
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數y=

2

x-1

是區間[2，6]上的減函數；
（3）因為函數y=

2

x-1

是區間[2，6]上的減函數，
所以函數y=

2

x-1

在區間的兩個端點上分別取得最大值和最小值，
即當x=2時，y_max=2，當x=6時，y_min=

2

5

；

點評：本題是人教版必修一教材中的例題稍作改編的題目，考查了求函數解析式，證明函數單調性，求函數在閉區間上的最值問題，是基礎題．