Question

已知.
（1）求函數在上的最小值；
（2）對一切恒成立，求實數的取值范圍；
（3）證明：對一切，都有成立.

Answer 1

（1）；（2）；
（3）設，則，
證得，當且僅當時取到，
從而對一切，都有成立.

解析試題分析：（1）定義域為，，
當單調遞減，
當，單調遞增.                     2分
①無解；                                  3分
②，即時，
③，即時，在上單調遞增，
所以
（2），則，對一切恒成立
設，則
單調遞減，單調遞增     8分
在上，有唯一極小值，即為最小值.
所以，因為對一切恒成成立，
所以；                                          9分
（3）問題等價于證明，
由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，
設，則，
易得，當且僅當時取到，                11分
從而對一切，都有成立.                   12分
考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性及極值，不等式的證明。
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）（3）涉及恒成立問題、不等式證明問題，均通過轉化成求函數的最值，這種思路是一般解法，在研究函數最值的過程中，再次利用導數。