Question

如圖所示，角A為鈍角，且，點(diǎn)P，Q分別在角A的兩邊上．
（1）已知AP=5，AQ=2，求PQ的長(zhǎng)；
（2）設(shè)∠APQ=α，∠AQP=β，且，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosA，AP與AQ的值代入計(jì)算即可求出PQ的長(zhǎng)；
（2）由cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形求出sin（α+β）與cos（α+β）的值，將所求式子變形后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入計(jì)算即可求出值．
解答：解：（1）∵A是鈍角，cosA=-，AP=5，AQ=2，
在△APQ中，由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQcosA，
∴PQ²=5²+2²-2×5×2×（-）=45，
∴PQ=3；
（2）∵α為三角形的角，cosα=，
∴sinα==，
又sin（α+β）=sin（π-A）=sinA=，cos（α+β）=cos（π-A）=-cosA=，
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=×+×=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．