Question

【題目】已知二次函數f（x）的對稱軸x=﹣2，f（x）的圖象被x軸截得的弦長為2 ，且滿足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（（ ）x）＞k，對x∈[﹣1，1]恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數f（x）的對稱軸x=﹣2，∴f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），

又f（0）=1，∴4a+k=1…①

又∵二次函數f（x）的對稱軸x=﹣2，且f（x）的圖象被x軸截得的弦長為2 ，∴f（x）過點（﹣2+ ，0），

∴3a+k=0…②，

由①②式得 a=1，k=﹣3

∴f（x）的解析式為：f（x）=（x+2）2﹣3

（2）解：f（（ ）x）＞k，對x∈[﹣1，1]恒成立[（ ）x+2]2﹣3＞k，對x∈[﹣1，1]恒成立，

∴k+3＜（[（ ）x+2]2）min．當x∈[﹣1，1]時， ，∴（[（ ）x+2]2）min= ，

k+3＜ k＜ ，∴實數k的取值范圍：（﹣∞， ）

【解析】（1）設f（x）=a（x+2）2+k（a≠0），由弦長為2 ，f（0）=1可得a和k，從而可求得f（x）的解析式；（2）f（（ ）x）＞k，對x∈[﹣1，1]恒成立k+3＜（[（ ）x+2]2）min
【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．