Question

（06年上海卷理）（14分）在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60．

（1）求四棱錐P－ABCD的體積；

（2）若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

解析：（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.

∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.

（2）解法一：以O為坐標原點,射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

在Rt△AOB中OA=,于是,點A、B、

D、P的坐標分別是A(0,－,0),

B (1,0,0),  D (－1,0,0),  P (0,0, ).

E是PB的中點,則E(,0,)  于是=(,0, ),=(0, ,).

設的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；

解法二：取AB的中點F,連接EF、DF.由E是PB的中點,得EF∥PA，

∴∠FED是異面直線DE與PA所成角(或它的補角)，

在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，

于是, 在等腰Rt△POA中，PA=，則EF=.

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，

  cos∠FED==

∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.