Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），若函數f（x）在區間（1，+∞）上為增函數，則正實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的單調性與導數的關系

專題：導數的概念及應用

分析：求f（x）的導數f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調性，求出f（x）的單調增區間，即得正實數a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=

1-x

ax

+lnx（a＞0），∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）；
令f′（x）=0，得x=

1

a

；
∴在（0，

1

a

]上f′（x）≤0，在[

1

a

，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，

1

a

]上是減函數，在[

1

a

，+∞）上是增函數；
∵函數f（x）在區間[1，+∞）內是增函數，
∴

1

a

≤1，又a＞0，∴a≥1；
∴實數a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查了利用導數來研究函數的單調性問題，解題時應根據導數的正負來判定函數的單調性，利用函數的單調區間來解答問題，是中檔題．