Question

已知函數，.
（1）若，是否存在、，使為偶函數，如果存在，請舉例并證明你的結論，如果不存在，請說明理由；
（2）若，，求在上的單調區間；
（3）已知，對，，有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）存在，如，；（2）函數的增區間為，減區間為；
（3）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）直接舉例并利用定義進行驗證即可；（2）將，代入函數的解析式，去絕對值符號，將函數的解析式利用分段函數的形式表示出來，然后利用導數求出函數在相應區間上的單調區間；（3）先將絕對值符號去掉，得到，并根據題中的意思將問題轉化為，然后利用導數進行求解，從而求出參數的取值范圍.
試題解析：（1）存在使為偶函數，證明如下：
此時：， ，為偶函數，
（注：也可以
（2），
當時，，在上為增函數，
當時，，令則，
當時，在上為減函數，
當時，在上為增函數，
綜上所述：的增區間為，減區間為；
（3），
，成立。
即：
當時，為增函數或常數函數，
 
       
  
       
   
綜上所述：.