Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD₁、AB、CC₁的中點．
（1）作出過B₁、G、F三點的長方體的截面（保留作圖痕跡）；
（2）求異面直線A₁E與GF所成角的大小；
（3）求斜線GF與底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接B1G并且延長B1G交BC的延長線于點Q，再連接FQ交CD于點P，則可得截面為B₁FPG．
（2）連接B₁G，EG，由長方體的結構特征與題中的條件可得：A₁E∥B₁G，得到∠B₁GF為異面直線所成角，再利用解三角形的有關知識求出答案．
（3）連接FC，由題意可得：GC⊥平面ABCD，所以∠GFC為斜線GF與底面ABCD所成角，再利用解三角形的有關知識求出線面角．

解答：解：（1）如圖所示：截面為B₁FPG．

（2）連接B₁G，EG，
∵E、G分別是DD₁和CC₁的中點，
∴EG∥C₁D₁，而C₁D∥A₁B₁，
∴EG∥A₁B₁，
∴四邊形EGB₁A₁是平行四邊形．
∴A₁E∥B₁G，
所以∠B₁GF為異面直線所成角，
連接B₁F，則FG=

3

，B₁G=

2

，B₁F=

5

，
所以FG²+B₁G²=B₁F²，
所以∠B₁GF=90°，
所以異面直線A₁E與GF所成的角為90°．
（3）連接FC，
由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的結構特征可得：GC⊥平面ABCD，
所以∠GFC為斜線GF與底面ABCD所成角，
因為AA₁=AB=2，AD=1，點F、G分別是AB、CC₁的中點，
所以CG=1，CF=

2

，
所以在△GFC中，tan∠GFC=

GC

FC

=

1

2

=

2

2

，
所以斜線GF與底面ABCD所成角為arctan

2

2

．

點評：本題考查異面直線所成的角與線面角，求空間角的步驟是：①從幾何體中找或作出角來，②證明此角是所求角，③再利用解三角形的有關知識求出空間角．