Question

已知橢圓經(jīng)過點,離心率為．

(1)求橢圓C的方程：

(2)過點Q(1,0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點,點P(4,3),記直線PA,PB的斜率分別為k₁,k₂,當(dāng)k₁·k₂最大時,求直線l的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1) .(2) .

【解析】

試題分析：(1) 由已知建立方程組  ①   ②， 即得解.

 (2)兩種思路，一是討論①當(dāng)直線的斜率為0，②當(dāng)直線的斜率不為0的情況；二是討論①當(dāng)直線垂直于x軸，②當(dāng)直線與x軸不垂直的情況.兩種情況的不同之處在于，直線方程的靈活設(shè)出.

第一種思路可設(shè)直線的方程為, 第二種思路可設(shè)直線的方程為.兩種思路下，都需要聯(lián)立方程組，應(yīng)用韋達定理，簡化解題過程.

本題是一道相當(dāng)?shù)湫偷念}目.

試題解析：(1) 由已知可得，所以     ①                1分

又點在橢圓上，所以     ②                2分

由①②解之，得.

故橢圓的方程為.                                    4分

(2)解法一：①當(dāng)直線的斜率為0時,則;        5分

②當(dāng)直線的斜率不為0時,設(shè),,直線的方程為,

將代入,整理得.        7分

則,                                  9分

又,,

所以, 

 

                                  11分

令,則

當(dāng)時即時，；

當(dāng)時，

 或

當(dāng)且僅當(dāng),即時, 取得最大值.                13分

由①②得,直線的方程為.                   14分

解法二：①當(dāng)直線垂直于x軸時,則;

②當(dāng)直線與x軸不垂直時,設(shè),,直線的方程為,

將代入,整理得.

則

又,,

所以,  

令由得或

所以當(dāng)且僅當(dāng)時最大，所以直線的方程為.

考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線方程，基本不等式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.