Question

（12分）證明以下命題：
（Ⅰ）對任一正整a,都存在整數b,c（b<c），使得成等差數列。
（Ⅱ）存在無窮多個互不相似的三角形△，其邊長為正整數且成等差數列。

Answer 1

解：（Ⅰ）考慮到結構要證，；類似勾股數進行拼湊。
證明：考慮到結構特征，取特值滿足等差數列，只需取b=5a，c=7a，對一切正整數a均能成立。
結合第一問的特征，將等差數列分解，通過一個可做多種結構分解的因式說明構成三角形，再證明互不相似，且無窮。
證明：當成等差數列，則，
分解得：
選取關于n的一個多項式，做兩種途徑的分解

對比目標式，構造，由第一問結論得，等差數列成立，
考察三角形邊長關系，可構成三角形的三邊。
下證互不相似。
任取正整數m，n，若△_m，△相似：則三邊對應成比例，
由比例的性質得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。

略