Question

已知空間三點A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設

a

=

AB

，

b

=

AC

．
（Ⅰ）求

a

和

b

的夾角θ的余弦值；
（Ⅱ）若向量k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，求實數k的值；
（Ⅲ）若向量λ

a

-

b

與

a

-λ

b

共線，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量夾角公式即可得出；
（II）利用向量垂直于數量積的關系即可得出；
（III）利用向量共線定理即可得出．

解答：解：

a

=

AB

=(1，1，0)，

b

=

AC

=(-1，0，2)．      
（Ⅰ）cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

-1+0+0

2 × 5

=-

10

10

，
∴

a

和

b

的夾角θ的余弦值為-

10

10

．
（Ⅱ） k

a

+

b

=(k-1，k，2)，k

a

-2

b

=(k+2，k，-4)
∵向量k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，
∴(k

a

+

b

)•(k

a

-2

b

)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k²-8=2k²+k-10=0
∴k=-

5

2

，或k=2．
（Ⅲ） λ

a

-

b

=(λ+1，λ，-2)，

a

-λ

b

=(1+λ，1，-2λ)
∵向量λ

a

-

b

與

a

-λ

b

共線，∴存在實數μ，使得λ

a

-

b

=μ(

a

-λ

b

)
即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

λ+1=μ(λ+1) λ=μ -2=-2μλ

∴λ=1，或λ=-1．

點評：熟練掌握向量夾角公式、向量垂直于數量積的關系、向量共線定理等是解題的關鍵．