Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且

（1）若，求橢圓的方程；

（2）直線AB的斜率；

（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

(1) 由已知可得，且，得B是A和E的中點，即可求出橢圓方程；(2) 方法一:由題意知橢圓的方程可寫為設直線的方程，設，則它們的坐標滿足方程組，整理得再由根的判別式和根與系數的關系求解；方法二:設直線的方程為，代C入，消去x整理，得， 再由根的判別式和根與系數的關系求解；(3)由(1) 可得，設橢圓方程為，得A（0，），C（0，），寫出線段AF1 的垂直平分線l的方程，得到△AF1C外接圓的圓心．求得外接圓的方程為．再求出直線F2B的方程為y（x﹣c），于是點H（m，n）的坐標滿足方程組：，由此可得的值．同理分析得到另一種情況下的的值．

（1）由，得，

從而，整理得， .

（2）解法1：由（1）知，，所以橢圓的方程可以寫為

設直線AB的方程為即，

由已知設則它們的坐標滿足方程組，

消去y整理，得，

依題意，

而①，②由題設知，點B為線段AE的中點，

所以③，

聯立①②③，解得，將結果代入韋達定理中解得.

解法2：由（1）知，，所以橢圓的方程可以寫為，

設直線AB的方程為，即，代入

消去x整理，得，

所以，

有題設知，點B為線段AE的中點，所以，所以，

即，

得，

解得：，代入檢驗成立，

從而直線AB的斜率.

(3)由（2）知，，當時，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點滿足方程組

由，解得，故

當時，同理可得.