Question

已知y=f（x）（x∈D，D為此函數的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數f（x）在D內單調遞增或單調遞減；②如果存在區間[a，b]⊆D，使函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，那么稱y=f（x），x∈D為閉函數；請解答以下問題：
（1）求閉函數y=-x³符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數f(x)=

3

4

x+

1

x

(x∈(0，+∞))是否為閉函數？并說明理由；
（3）若y=k+

x

(k＜0)是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定y=-x³是R上的減函數，可得a+b=0，又b＞a，即可得出結論；
（2）當x＞0，f(x)=

3

4

x+

1

x

在(0，

2 3

3

]上單調遞減，在(

2 3

3

，+∞)上單調遞增，可得結論；
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數，符合條件①；設函數符合條件②的區間為[a，b]，則

a=k+ a b=k+ b

，利用條件，可得結論．

解答：解：（1）先證y=-x³符合條件①：對于任意x₁，x₂∈R，
且x₁＜x₂，有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的減函數．
由題可得：

b=-a3 a=-b3

則（a+b）=-（a³+b³），∴（a+b）[a²-ab+b²+1]=0
而a2-ab+b2+1=(a-

b

2

)2+

3

4

b2+1＞0，∴a+b=0，
又b＞a，∴a=-1，b=1所求區間為[-1，1]
（2）當x＞0，f(x)=

3

4

x+

1

x

在(0，

2 3

3

]上單調遞減，在(

2 3

3

，+∞)上單調遞增，
所以，函數在定義域上不是單調遞增或單調遞減函數，從而該函數不是閉函數
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函數，符合條件①；
設函數符合條件②的區間為[a，b]，則

a=k+ a b=k+ b

；
故a，b是x=k+

x

的兩個不等根，即方程組為：

x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k

有兩個不等非負實根；
設x₁，x₂為方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
則

△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0

，
解得：-

1

4

＜k＜0，∴k的取值范圍(-

1

4

，0)．

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．