Question

已知函數f（x）=|sinx|．
（1）若g（x）=ax-f（x）≥0對任意x∈[0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點，且公共點的橫坐標的最大值為α，求證：

cosα

sinα+sin3α

=

1+α2

4α

．

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知，我們只需要考慮x∈[0，

π

2

)，此時g（x）=ax-sinx，利用導數工具，求導g′（x）=a-cosx，再對a值進行分類討論研究函數g（x）的單調性，從而求出實數a的取值范圍；
（2）f（x）的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點時，如圖所示，且在(π，

3

2

π)內相切，其切點為A（α，-sinα），利用導數的幾何意義得出：-cosα=

-sinα

α

⇒α=tanα，再化簡欲證等式的左邊即可說不得結論．

解答：解：（1）根據圖象可知，我們只需要考慮x∈[0，

π

2

)，
此時g（x）=ax-sinx
所以g′（x）=a-cosx
當a≥1時，g′（x）≥0，易知函數g（x）單調增，
從而g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當a≤0，g′（x）＜0，函數g（x）單調減，從而g（x）≤g（0）=0，不符合題意；
當0＜a＜1時，顯然存在x0∈[0，

π

2

)，使得g′（x）=0，且x∈[0，x₀）時函數g（x）單調減，
從而g（x）≤g（0）=0，不符合題意．
綜上討論知a≥1．
（2）f（x）的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點時如圖所示，
且在(π，

3

2

π)內相切，其切點為A（α，-sinα），α∈(π，

3

2

π)
由于f′（x）=-cosx，x∈(π，

3

2

π)，
則-cosα=

-sinα

α

⇒α=tanα
故

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

sinα+3sinα-4sin 3α

=

sin2α+cos2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．